1、（1）当线段$AC$过原点时，点$A$、$C$中点为：$\left(0,0\right)$，故$\frac{1}{2}\left(a+c\right)=0$。

2、$\frac{1}{2}(b+d)=0$，即：$a+c=0$，$b+d=0$；$(2)$由题意得：$\left\{\begin{array}{l}y=x+2\\ y=\frac{3}{x}\end{array}\right.$。

3、解之得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=-3\\{y_1}=-1\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=1\\{y_2}=3\end{array}\right.$.$\therefore A\left(1,3\right)$，$C\left(-3,-1\right)$.$\therefore AB=1-\left(-3\right)=4$。

4、$BC=3-\left(-1\right)=4$，$4\times 4=16$.答：矩形$ABCD$的周长为$16$.$(3)\because $点$A\left(a,b\right)$、$C\left(c,d\right)$均在$y=\frac{3}{x}$的图象上，$\therefore A({a。

5、\frac{3}{a}})$，$C({c，\frac{3}{c}})$.$\because AB=BC$。

6、$\therefore a-c=\frac{3}{a}-\frac{3}{c}$.$\therefore ac=-3$.答：$a$与$c$的数量关系是$ac=-3$.。